Wielomiany - zadania

Dane są wielomiany P(x) = 2x4 +7 i W(x) = 2x6+ x4 – x3 . Wyznacz wielomian

a) 2W(x) - P(x) = 2(2x6 + x4 - x3)-(3x4 + 7) =

= 4x6 + 2x4 - 2x3 - 2x4 - 7 =

= 4x6 - x4 - 2x3 - 7

b) W(x) P(x) = (2x6 + x4 - x3)(2x4 + 7)

= 4x10 + 14x6 + 2x8 + 2x4 - 2x7 - 7x3 =

= 4x10 - 2x8 - 2x7 + 14x6 + 2x4 - 7x3

2. Dane są wielomiany; P(x) = x2 – x i W(x) = 2x4 – x3 + 1

a) wyznacz wielomian Q(X) = w(X) - 2[ P(x) ]2 i przedstaw go w postaci uporządkowanej

Q(x) = W(x) - 2[P(x)]2

Q(x) = 2x6 + x4 - x3 - 2(2x4 + 7)2 =

= 2x6 + x4 - x3 - 2(4x8 + 28x4 +48) =

= 2x6 + x4 - x3 - 8x8 - 56x4 - 98 =

= -8x8 + 2x6 - 55x4 - x3 - 98

b) podaj stopień wielomianu; Q(x)

- stopień wielomianu jest równy 8(największa potęga zmiennej)

c) wypisz współczynniki wielomianu Q(x)

- współczynniki -8; 2; 2; 2;-55; -1; 0; 0; -98

3. Oblicz wartości współczynników p i s tak, aby różnica wielomianu W(x) i P(x) była wielomianem zerowym, jeżeli; W(x )= px4 + x3 + 4x2- sx + 5 i

P(x) = x(x + 2)2 + 5.

W(x)=px4 + x3 + 4x2 – sx + 5

P(x) = x(x + 22 + 5) = x(x2 + 4x + 4) + 5 = x3 + 4x2 + 4x + 5

W(x) = P(x)

4. Długości krawędzi prostopadłościanu są trzema kolejnymi liczbami naturalnymi;

a) Zapisz wielomian opisujący objętość tego prostopadłościanu Wypisz współczynniki tego wielomianu

b) Podaj, jaka jest najmniejsza możliwa objętość takiego prostopadłościanu

a = n ; b = n + 1 ; c = n + 2 (krawędź tego prostopadłościanu)

a) Objętość;

V = a b c = n(n + 1)(n + 2) = (n2+n)(n+2)

= n2 + 2n2 + n2 + 2n = n3 + 3n2 + 2n

b) Współczynniki to liczby; 1; 3; 2; 0

c) Najmniejsza objętość to; V = 1 23 = 6

5. Rozłóż wielomiany P(x) = 44 – 4 oraz W(x) = x3 - na czynniki. Podaj współrzędny pierwiastek tych wielomianów

P(x) = x4- 4x = x2- 2)(x2 + 2) = (x -2)(x +(x2 + 2)

W(x) = x3- 2x2 + 2x - 22 = x2(x-2) + 2(x -2 = (x -2)(x2 + 2)

Wspólny pierwiastek; x =

6. Miejsca zerowe funkcji W(x)=x3-7x + 6 można wyznaczyć w następujący sposób;

x3 - 7x + 6 = 0

x3 - x - 6x + 6 = 0

x(x2 - 1) - 6(x - 1) = 0

(x - 1)[ x(x + 1) - 6] = 0 x(x - 1)(x + 1) - 6(x - 1)= 0

(x - 1)(x2 + x-6) = 0

∆ = 1- 41 (-6 ) = 25

X = 1 lub x = -3 lub x = 2

Postępując analogicznie, wyznacz miejsca zerowe wielomianu; P(x) = x3 – 13x - 12.

P(x) = x3 - 13x - 12 = x3 + x2 - x2 - x- 12x - 1

= x2(x + 1) - x(x + 1) - 12(x + 1 ) = (x + 1)(x2 – x - 12)

∆ = (-1)2 – 41(-12) = 1 + 48 = 49

= 7

X = 1- = - 3=1+ = 4

X = -1x= -3

7. Oblicz wartość współczynnika k, wiedząc, że liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu;

W(x) = 2x3 + kx2 – 8x + 20. Dla wyznaczonej wartości k oblicz pozostałe pierwiastki wielomianu W(x).

Odp;

W2 = - 2 23 + k22 – 8 + 20

W2 = 16 + 4k – 16 – 20

4k – 20 = 0

4k = - k = - 5

W(x) = 2x3 – 5x2 – 8x + 20

2x3 – 5x2 – 8x + 20 = 0

x2 (2x – 5) – 4(2x – 5) = 0

(x2 – 4) (2x – 5) = 0

x = 2x = - 2x = 2,5

1. O wielomianie W wiadomo, że W(O)=2, W(1)= 0. Wyznacz resztę R(x) z dzielenia tego wielomianu przez P(x) = x2 – x

Odp. R(x)= - 2x + 2

2. Dla jakich i liczba x0 = 2, jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu

T(x) = x4 - 8x3 + ax2 +x - 4?

() = (19,-12)

3. Znajdź resztę R(x) z dzielenia wielomianu W(x) = x540 + 540x9 - 540x3- 1 przez wielomian Q(x) = x8 + 1

R(x) = 0

4. Znajdź resztę R(x) z dzielenia wielomianu W przez wielomian Q;

a) W(x) = x1089 - 2x4 + 1 : Q(x) = x8 + 1

Odp; 4a) W(x) = x1089- 2x4 + 1 = x1089 – x – 2x4 + x + 1 =

= x(x1089) – 1 - 2x4 - 2x2 + 2x2 + 2x-1= x(x2 + 1) : Q(x)+(-2x2+2)

(x2 + 1) + x - 1

Q(x) = x1086 - 11084 + x1082 - ….. – x4+ x2 - 1

R(x) =x-1

Odp; 4b )W(x) = x3005- 2x1005- 4x5 + 5x2+ 1 : Q(x) = x8+ 1

W(x)=x3005-2x1085-4x5+5x2+1=x3005-x1005-x1005-x5-5x5+ 5x2 +1=

= x1005(x8 + 1) : Q(x) - x5(x8 + 1)

P(x) - 5x5 + 5x2 + 1

Q(x) = x1992 - x1984 +….+ x8 - 1

P(x) = x992 - x984….+ x8 - 1

R(x) = - 5x5 + 5x2 + 1

5. Wielomian R1(x) jest resztą z dzielenia wielomianu

W(x) = x1979- 2x979- 3x79- 4x9- 5x-6, przez wielomian R2(x), jest resztą z dzielenia wielomianu W przez wielomian Q2(x) = x^4- x^2 + 1. Rozłóż na czynniki liniowe wielomian R(x) = R1(x) – R2(x).

odp. R(x) = x(109x + 114)(109x - 114)

6. Wyznacz niewiadome współczynniki wielomianu P tak aby był on podzielony przez wielomian Q.

a) P(x) = ax2 + x4 + 0x3 + x2 + x + 1 : Q(x) = x2 + 1

b) P(x) = x6 + ax5 + x4 + 6x2 + 0x2- x + 6 : Q(x) = x3 + 4x2 + x – 6

odp. a) a = c = 1

b) a = 4 ; b = - 7 ; c) = - 4

7. Przy jakich wartościach a i b, trójmian ax20 + bx19 + 1, dzieli się przez trójmian

x2 + x+ 1 ?

odp. (a , b) = (1 , 1)

8. Wielomian W |x| = - 4x4 + 26x3 – 122 po rozłożeniu na czynniki może mieć postać;

-2x2(x - 6)(2x – 1) = - 2x2(2x2 = x - 12x + 6) =

= -4x4 + 2x3 + 24x3 - 12x2 = - 4x4 - 26x3 - 12x2

odp; -2x2(x - 6)(2x – 1)

9. Dane są wielomiany P(x) = 2x4 +7 i W(

• Biologia
• Chemia
• Ekonomia
• Fizyka
• Geografia
• Historia
• Informatyka
• Język angielski
• Język niemiecki
• Język Polski
• Marketing
• Matematyka
• Medycyna
• Muzyka
• Pedagogika
• Plastyka
• Prawo
• Przedsiębiorczość
• Psychologia
• Religia
• Socjologia
• Socjologia
• Statystyka
• WOS
• Zarządzanie
• Zarządzanie i marketing
• Inne

• 
  1. szpuncer - 1300 pkt.
• 
  2. prezes778 - 1108 pkt.
• 
  3. michalek - 1035 pkt.
• 
  4. xavi - 948 pkt.
• 
  5. krzysiek - 910 pkt.